Рођен је 9. јула 1925. године у Бихаћу, где је живео до треће године, када се породица сели у Нови Сад. Отац Василије био је адвокатски приправник у Бихаћу, док је мајка Бјанка студирала у Загребу. До априла 1941. године живе у Новом Саду, када бивају приморани да напусте окупирану Војводину. Бежећи пред ратним невољама, породица Станковић привремено се смешта у Лединце (Срем), да би коначно уточиште, бежећи пред усташком најездом, пронашла у Београду.
Још као дечак Бора се заинтересовао за спорт. Као петнаестогодишњак бавио се тенисом и стоним тенисом, и при томе забележио значајне успехе: био је првак Србије у стоном тенису 1943. и 1946. године.
Прве кошаркашке кораке начинио је после рата на теренима БТК, данашњег Ташмајдана. Кошарку је често играо са Срђаном Мркушићем, касније легендарним голманом Црвене Звезде. Иако је Станковићево заљубљивање у кошарку почело на Ташмајдану, он каже да је колевка југословенске кошарке – Калемегдан, када се дошло на идеју да се од једног запуштеног тениског терена направи кошаркашки стадион. После дугих расправа са урбанистима, уз много енергије труда и визије, ова идеја је реализована и Југославија је добила први кошаркашки стадион.
Кошарку је почео да игра на наговор лекара Светислава Бате Вуловића, човека који је први донео кошаркашку лопту у Београд, ударивши темеље великој спортској идеји око које ће се окупити милиони поклоника у нашој земљи, идеје која ће Југославију презентовати европској и светској јавности у најлепшем спортском светлу.
После демобилизације, Станковић је присуствовао оснивачкој скупштини спортског друштва Црвена Звезда, која је одржана 4. марта 1945. године. На наговор Небојше Поповића, у јулу 1945. године, Бора започиње своју играчку каријеру у тиму Црвене Звезде, са којом осваја три титуле државног првака. Због политичких притисака, 1948. године, напушта Црвену Звезду и постаје тренер у КК Железничар, који под његовим вођством убрзо постаје прволигаш. Године,1950. Станковић се враћа играчкој каријери, овај пут у табору, КК Партизан, у коме остаје две сезоне.
Прву међународну утакмицу, у дресу Црвене Звезде, одиграо је у Будимпешти против мађарског Пошташа 1948. године. За национални тим је дебитовао 1950. године, у Ници, а у октобру исте године постаје члан репрезентације која је играла на првом светском кошаркашком шампионату у Буенос Ајресу. Био је репрезентативац Југославије, која је 1953. године, забележила први значајнији међународни успех освојивши шесто место победама над тада врло јаким екипама Италије и Чешке. Те године завршава играчку и отпочиње тренерску каријеру, у БСК, данашњем ОКК Београду.
Године проведене у БСК представљају најплодоносније раздобље у тренерској каријери Боре Станковића. У њему је провео пуних 13 година, у периоду 1953-1962 и 1964-1966. године. Под његовом “диригентском палицом”, БСК, односно ОКК Београд је, од малог клуба који се такмичио у регионалним лигама, израстао у вишеструког државног шампиона, тим европске вредности. Са ОКК Београдом, Бора је три пута био првак Југославије: 1958, 1960 и 1964. године, а 1963. године, ОКК је био првак државе под водством професора Аце Николића. Радећи у овом клубу Станковић је селектирао и створио шампионску генерацију, предвођену Радивојем Кораћем, генерацију чији су успеси изненадили све љубитеље игре под обручима у Југославији, а многим великим клубовима помутили планове.
Његов радни дан, за време тренерског мандата на клупи ОКК Београда, имао је три дела. Прво би радио у Београдској кланици, као контролор меса и животних намирница. Одатле би журио у Кошаркашки савез, да би у позним вечерњим часовима тренирао играче ОКК Београда.
После ОКК Београда, у коме је провео најуспешније тренерске године, своју тренерску каријеру Станковић наставља у италијанској Оранжсоди, са којом је освојио титулу првака Италије, поставши први тренер-странац коме је пошло за руком да освоји титулу првака на Апенинском полуострву.
Као спортски функционер почео је рад у Такмичарској комисији (са Радомиром Шапером). Касније је постао заменик генералног секретара КСЈ, а 1956. године је именован за Генералног секретара Кошаркашке федерације Југославије. На тој дужности је остао до 1966. године.
Прво признање и почетак трасирања европске каријере био је његов избор у Комисију за европске купове 1958. године. У овом кошаркашком телу, које и дан данас има моћан утицај на европску кошарку, постаје помоћник Вилијаму Џонсу, утемељивачу светске кошаркашке организације (Женева, 1932. године). У Џонсовог помоћника је промовисан 1960. године, да би га девет година касније (после тренерске каријере у Италији) Џонс позвао у Минхен на професионалан рад.
Радећи професионално у Минхену, био је ангажован на најкомплекснијим и најодговорнијим задацима: кошаркашки турнир на ОИ у Мексико Ситију, Минхену и Монтреалу, светским првенствима за жене 1971. године и 1975. године, као и на неколико европских шампионата. Као награда за успешно обављене задатке, уследило је именовање за заменика генералног секретара FIBA, 1972. године.
После Олимпијских игара у Монтреалу, 1976. године, и сјајног успеха југословенске репрезентације, промовисан је у Генералног секретара светске кошаркашке организације FIBA. На овој функцији Бора је провео 26 година, а за то време кошарка је постала “глобални феномен”, игра се на свим континентима и по масовности се приближила фудбалу.
На новој дужности, Бора бележи значајне резултате и успехе. Постаје генерални секретар Асоцијације међународних спортских организација, која има олимпијске спортове и у оквиру које се доносе важне одлуке. Пуно енергије и рада уложио је у приближавање америчке и европске кошаркашке школе. Први успех на том плану био је први отворени кошаркашки турнир, одржан 1987. године у Милвокију, на коме су учествовали Милвоки Бакси, совјетска репрезентација и европски клупски шампион Трејсер из Милана. Бора има изузетне заслуге за укључивање америчких професионалних кошаркаша из NBA лиге у светска и олимпијска такмичења. У сарадњи са Дејвидом Штерном, комесаром NBA лиге, успео је да доведе америчке професионалце на Олимпијске игре у Барселони, 1992.године.
Године 1980. постаје члан Управног одбора Нејсмитовог кошаркашког хола славе (Neismith’s Hall of Fame). На основу животног дела кошаркаша, у играчкој, тренерској или некој другој улози, ова организација га уписује у “Кућу славних” (Hall of Fame) за сва времена.
Станковић је постао члан Међународног Олимпијског Комитета (МОК) 1988. године.
Учећи целог живота да буде оно што јесте, улажући огроман рад, стварајући пријатеље, размењујући знање и искуства, стекао је поверење међу људима, као и личну и породичну срећу. Супруга Милица, ћерка Љиљана и унуке Александра и Ивана су извори његове неизмерне љубави, а деда им узвраћа широким осмехом човека који је схватао потребе свога времена и веома допринео да “краљицу игара” учини бољом, атрактивнијом, приступачнијом и лепшом.
Добитник октобарске награде Београда за непроцењив допринос спорту (1974). Америчка спортска академија доделила му је признање “Светски спортски лидер”, 1983. године. Одликован је немачким Заслужним крстом,1987. године. У Кошаркашку кућу славних уписан је 1991. године. Одликован је: Орденом лава Републике Сенегал 1999. године, Легијом части Француске владе, 2001. године и Орденом заслуга за народ СРЈ првог реда, 2002. године. Почасни је председник Кошаркашког савеза Србије и почасни Генерални секретар FIBA.
Дипломирао је на Ветеринарском факултету Универзитета у Београду. Говори седам језика: српски, руски, енглески, француски, италијански и шпански.